Упр.11.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 11.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) у = 2х, [1; 4]; б)y=(1/3)x, [-4;2]; в)y=(1/3)x, [0;4]; г)y=2x, [-4;2].

Для показательной функции $$y=a^x$$ на заданном промежутке достаточно сравнить значения на концах отрезка: если $$a>1$$, функция возрастает, если $$0<a<1$$, функция убывает.

1. $$y=2^x,\ [1;4]$$

   Так как $$2>1$$, функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=1$$, а наибольшее — при $$x=4$$:

   $$y(1)=2^1=2$$
   
   $$y(4)=2^4=16$$

2. $$y=\left(\frac13\right)^x,\ [-4;-2]$$

   Так как $$\frac13<1$$, функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=-4$$, а наименьшее — при $$x=-2$$:

   $$y(-4)=\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81$$
   
   $$y(-2)=\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$$

3. $$y=\left(\frac13\right)^x,\ [0;4]$$

   Функция убывает, поэтому:

   $$y(0)=\left(\frac13\right)^0=1$$
   
   $$y(4)=\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}$$

4. $$y=2^x,\ [-4;2]$$

   Так как $$2>1$$, функция возрастает. Тогда:

   $$y(-4)=2^{-4}=\frac1{16}$$
   
   $$y(2)=2^2=4$$

Ответ

а) $$y_{\min}=2,\ y_{\max}=16$$;
б) $$y_{\min}=9,\ y_{\max}=81$$;
в) $$y_{\min}=\frac1{81},\ y_{\max}=1$$;
г) $$y_{\min}=\frac1{16},\ y_{\max}=4$$.