Упр.10.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.9. Вычислите: а) (cos 20° + i sin 20°)9; в) (cos 3° — i sin 3°)-40; б) (cos 20° + i sin 20°)-3; r) (cos 5° — i sin50)24.

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos \alpha + i\sin \alpha\right)^n=\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha).$$

1. $$\left(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ\right)^9=\cos 180^\circ+i\sin 180^\circ=-1.$$

2. $$\left(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ\right)^{-3}=\cos(-60^\circ)+i\sin(-60^\circ).$$

   $$\cos(-60^\circ)=\cos 60^\circ=\frac12,\qquad \sin(-60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\left(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ\right)^{-3}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

3. $$\left(\cos 3^\circ-i\sin 3^\circ\right)^{-40}=\left(\cos(-3^\circ)+i\sin(-3^\circ)\right)^{-40}.$$

   По формуле Муавра:

   $$\left(\cos 3^\circ-i\sin 3^\circ\right)^{-40}=\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ.$$

   Тогда

   $$\cos 120^\circ+i\sin 120^\circ=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

4. $$\left(\cos 5^\circ-i\sin 5^\circ\right)^{24}=\cos 120^\circ-i\sin 120^\circ.$$

   Подставим значения:

   $$\cos 120^\circ-i\sin 120^\circ=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$; в) $$-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$; г) $$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$.