Упр.10.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.8. Решите уравнение: а) z2 — 10z + 29 = 0; в) z2 + 30z + 241 = 0; б) iz2 — 10z — 29i = 0; r) z2 + 30iz + 31 = 0.

1. а) $$z^2-10z+29=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 29=100-116=-16.$$

   Тогда

   $$z=\frac{10\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{10\pm 4i}{2}=5\pm 2i.$$

2. б) $$iz^2-10z-29i=0$$

   Умножим уравнение на $$-i$$:

   $$z^2+10iz-29=0.$$

   Теперь

   $$D=(10i)^2-4\cdot 1\cdot (-29)=-100+116=16.$$

   Следовательно,

   $$z=\frac{-10i\pm 4}{2}=-5i\pm 2.$$

3. в) $$z^2+30z+241=0$$

   $$D=30^2-4\cdot 241=900-964=-64.$$

   Тогда

   $$z=\frac{-30\pm \sqrt{-64}}{2}=\frac{-30\pm 8i}{2}=-15\pm 4i.$$

4. г) $$z^2+30iz+31=0$$

   $$D=(30i)^2-4\cdot 31=-900-124=-1024.$$

   Тогда

   $$z=\frac{-30i\pm \sqrt{-1024}}{2}=\frac{-30i\pm 32i}{2}.$$

   Получаем корни:

   $$z_1=i,\quad z_2=-31i.$$

Ответ

а) $$5\pm 2i$$; б) $$-5i\pm 2$$; в) $$-15\pm 4i$$; г) $$i,\,-31i$$.