Упр.10.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.7. Пусть z = cos 8° + i sin 8°. Найдите наименьшее натуральное значение n, для которого: а) zn принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости; б) (z)n принадлежит третьей координатной четверти; в) zn принадлежит четвертой координатной четверти; г) (z)n принадлежит первой координатной четверти.

Пусть $$z=\cos 8^\circ+i\sin 8^\circ.$$ Тогда по формуле Муавра

$$z^n=\cos 8^\circ n+i\sin 8^\circ n,$$

а для сопряжённого числа

$$\overline z=\cos 8^\circ-i\sin 8^\circ,$$

поэтому

$$\left(\overline z\right)^n=\cos 8^\circ n-i\sin 8^\circ n.$$

1. $$z^n$$ принадлежит третьей четверти, если

   $$180^\circ<8^\circ n<270^\circ.$$

   Тогда

   $$22{,}5<n<33{,}75.$$

   Наименьшее натуральное $$n=23.$$

2. $$\left(\overline z\right)^n$$ принадлежит третьей четверти, если

   $$180^\circ<-8^\circ n<270^\circ.$$

   Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знаки:

   $$-270^\circ<8^\circ n<-180^\circ.$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, удобнее записать условие для аргумента в третьей четверти:

   $$-180^\circ<-8^\circ n<-90^\circ.$$

   Отсюда

   $$11{,}25<n<22{,}5.$$

   Наименьшее натуральное $$n=12.$$

3. $$z^n$$ принадлежит четвёртой четверти, если

   $$270^\circ<8^\circ n<360^\circ.$$

   Тогда

   $$33{,}75<n<45.$$

   Наименьшее натуральное $$n=34.$$

4. $$\left(\overline z\right)^n$$ принадлежит первой четверти, если

   $$-360^\circ<-8^\circ n<-270^\circ.$$

   Отсюда

   $$33{,}75<n<45.$$

   Наименьшее натуральное $$n=34.$$

Ответ

а) $$23$$; б) $$12$$; в) $$34$$; г) $$34$$.