Упр.10.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.5. а) z1 = корень 3 — 2 + i(Пи — 4), z2 = корень 5 — 2 + i(Пи2 — 9), z3 = корень 4 степени l7 — корень 5 степени 31 + i(l — 2^0,2), z4 = корень 10 степени 1000 — корень 9 степени 600 + i(3^2/3 — 4^2/5); 6) z1 = sin 200° + i cos 170°, z2 = sin 250° + i cos 70°, z3 = cos 440° + i cos 460°, z4 = tg 185° + i arccos 0,9.

Подробный ответ

а) Найдём, в каких четвертях лежат точки, соответствующие данным комплексным числам.

$$ z_1=\sqrt{3}-2+i(\pi-4) $$
Здесь $$\sqrt{3}-2<0$$ и $$\pi-4<0$$, значит, $$z_1$$ лежит в III четверти.

$$ z_2=\sqrt{5}-2+i(\pi^2-9) $$
Так как $$\sqrt{5}-2>0$$ и $$\pi^2-9>0$$, то $$z_2$$ лежит в I четверти.

$$ z_3=\sqrt[4]{17}-\sqrt[5]{31}+i(1-2^{0,2}) $$
Имеем $$\sqrt[4]{17}-\sqrt[5]{31}>0$$, а $$1-2^{0,2}<0$$, значит, $$z_3$$ лежит в IV четверти.

$$ z_4=\sqrt[10]{1000}-\sqrt[9]{600}+i\left(3^{2/3}-4^{2/5}\right) $$
Здесь $$\sqrt[10]{1000}-\sqrt[9]{600}<0$$, а $$3^{2/3}-4^{2/5}>0$$, значит, $$z_4$$ лежит во II четверти.

Аргументы чисел из I, II, III, IV четвертей возрастают именно в таком порядке, поэтому:

$$ z_1,\ z_3,\ z_2,\ z_4 $$

б) Приведём числа к виду $$x+iy$$ и определим четверти.

$$ z_1=\sin 200^\circ+i\cos 170^\circ $$
Так как $$\sin 200^\circ<0$$ и $$\cos 170^\circ<0$$, то $$z_1$$ лежит в III четверти.

$$ z_2=\sin 250^\circ+i\cos 70^\circ $$
Здесь $$\sin 250^\circ<0$$ и $$\cos 70^\circ>0$$, значит, $$z_2$$ лежит во II четверти.

$$ z_3=\cos 440^\circ+i\cos 460^\circ $$
Имеем $$\cos 440^\circ=\cos 80^\circ>0$$, $$\cos 460^\circ=\cos 100^\circ<0$$, значит, $$z_3$$ лежит в IV четверти.

$$ z_4=\tg 185^\circ+i\arccos 0{,}9 $$
Так как $$\tg 185^\circ>0$$ и $$\arccos 0{,}9>0$$, то $$z_4$$ лежит в I четверти.

Следовательно, по возрастанию аргументов:

$$ z_1,\ z_3,\ z_4,\ z_2 $$