Упр.10.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Расположите комплексные числа z1, z2, z3, z4 в порядке возрастания их аргументов: 10.4. a) z1 = i, z2 = i2, z3 = i3, z4 = i4; 6) z1 = i-1, z2 = i-2, z3 = i-3, z4 = z-4.

Подробный ответ

а) Найдём аргументы данных чисел:

$$z_1=i=0+i,\quad \varphi_1=\frac{\pi}{2}$$
$$z_2=i^2=-1+0i,\quad \varphi_2=\pi$$
$$z_3=i^3=-i=0-i,\quad \varphi_3=-\frac{\pi}{2}$$
$$z_4=i^4=1+0i,\quad \varphi_4=0$$

По возрастанию аргументов:

$$-\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi$$

Значит,

$$z_3,\ z_4,\ z_1,\ z_2.$$

б) Аналогично:

$$z_1=i^{-1}=\frac{1}{i}=0-i,\quad \varphi_1=-\frac{\pi}{2}$$
$$z_2=i^{-2}=\frac{1}{i^2}=-1+0i,\quad \varphi_2=\pi$$
$$z_3=i^{-3}=\frac{1}{i^3}=0+i,\quad \varphi_3=\frac{\pi}{2}$$
$$z_4=i^{-4}=\frac{1}{i^4}=1+0i,\quad \varphi_4=0$$

По возрастанию аргументов:

$$-\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi$$

Следовательно,

$$z_1,\ z_4,\ z_3,\ z_2.$$