Упр.10.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.3. Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором: а) число (4 + 3i)n лежит вне круга радиуса 100 с центром в начале координат; б) число (1 — 2i)n лежит вне круга радиуса 1000 с центром в начале координат; в) число (i — 2)л лежит вне круга радиуса 10n с центром в начале координат; г) число (1 + 3i)n лежит вне круга радиуса 5n2 с центром в начале координат.

Модуль комплексного числа $$a+bi$$ равен $$\sqrt{a^2+b^2}$$. Тогда модуль степени равен

$$|(a+bi)^n|=|a+bi|^n.$$

1. $$|(4+3i)^n|=\left(\sqrt{4^2+3^2}\right)^n=5^n.$$

   Нужно, чтобы $$5^n>100.$$

   $$5^2=25,\quad 5^3=125,$$

   значит, наименьшее $$n=3.$$

2. $$|(1-2i)^n|=\left(\sqrt{1^2+(-2)^2}\right)^n=(\sqrt5)^n.$$

   Нужно, чтобы $$\left(\sqrt5\right)^n>1000.$$

   Проверим степени:

   $$\left(\sqrt5\right)^8=25^2=625,\qquad \left(\sqrt5\right)^9=625\sqrt5>1000.$$

   Следовательно, наименьшее $$n=9.$$

3. $$|(i-2)^n|=\left(\sqrt{(-2)^2+1^2}\right)^n=(\sqrt5)^n.$$

   Нужно, чтобы $$\left(\sqrt5\right)^n>10n.$$

   Проверим подряд:

   $$n=4:\ \left(\sqrt5\right)^4=25,\quad 10n=40,\quad 25<40,$$

   $$n=5:\ \left(\sqrt5\right)^5=25\sqrt5>50,$$

   значит, наименьшее $$n=5.$$

4. $$|(1+3i)^n|=\left(\sqrt{1^2+3^2}\right)^n=(\sqrt{10})^n.$$

   Нужно, чтобы $$\left(\sqrt{10}\right)^n>5n^2.$$

   Проверим:

   $$n=3:\ \left(\sqrt{10}\right)^3=10\sqrt{10},\quad 5n^2=45,\quad 10\sqrt{10}<45,$$

   $$n=4:\ \left(\sqrt{10}\right)^4=100,\quad 5n^2=80,\quad 100>80.$$

   Следовательно, наименьшее $$n=4.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$9$$; в) $$5$$; г) $$4$$.