Упр.10.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.22 а) z4 — 1 = 0; б) z4 — 3z3 + 6z2 — 12z + 8 = 0; в) z4 — 5z2 — 36 = 0; г) z4 — 5z3 + 7z2 — 5z + 6 = 0.

1. $$z^4-1=0$$

   Разложим на множители:

   $$z^4-1=(z^2+1)(z^2-1)=0$$

   Тогда

   $$z^2+1=0 \Rightarrow z=\pm i,$$

   или

   $$z^2-1=0 \Rightarrow z=\pm 1.$$

2. $$z^4-3z^3+6z^2-12z+8=0$$

   Группируем слагаемые:

   $$z^3(z-3)+2(3z^2-6z+4)=0$$

   Удобнее разложить на множители:

   $$z^4-3z^3+6z^2-12z+8=(z-1)(z-2)(z^2+4)=0$$

   Тогда

   $$z-1=0 \Rightarrow z=1,$$

   $$z-2=0 \Rightarrow z=2,$$

   $$z^2+4=0 \Rightarrow z=\pm 2i.$$

3. $$z^4-5z^2-36=0$$

   Положим $$t=z^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$t^2-5t-36=0$$

   $$D=25+144=169$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$

   $$t_1=-4,\quad t_2=9$$

   Возвращаемся к переменной $$z$$:

   $$z^2=-4 \Rightarrow z=\pm 2i,$$

   $$z^2=9 \Rightarrow z=\pm 3.$$

4. $$z^4-5z^3+7z^2-5z+6=0$$

   Разложим на множители:

   $$z^4-5z^3+7z^2-5z+6=(z-2)(z-3)(z^2+1)=0$$

   Тогда

   $$z-2=0 \Rightarrow z=2,$$

   $$z-3=0 \Rightarrow z=3,$$

   $$z^2+1=0 \Rightarrow z=\pm i.$$

Ответ

а) $$z=\pm 1,\ \pm i$$;
б) $$z=1,\ 2,\ \pm 2i$$;
в) $$z=\pm 3,\ \pm 2i$$;
г) $$z=2,\ 3,\ \pm i$$.