Упр.10.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.20 Составьте (если возможно) многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа: а) z1 = i, z2 = i — 1, z3 = -i, z4 = -(1 + i); б) z1 = 2 + i, z2 = i — 2, z3 = 2 — i, z4 = -(2 + i); в) z1= 4 + 3i, z2 = 4 — 3i, z3 = z4 = 2; г) z1= -1 — 8i, z2 = 8i, z3 = z4 = -10.
Если многочлен имеет действительные коэффициенты, то вместе с каждым комплексным корнем должен иметь и сопряжённый корень.
а) Корни: $$i,\ i-1,\ -i,\ -(1+i).$$
Составим многочлен:
$$ (z-i)(z+i)\bigl(z-(i-1)\bigr)\bigl(z-(-(1+i))\bigr) $$
$$ =(z^2+1)(z+1-i)(z+1+i) $$
$$ =(z^2+1)\bigl((z+1)^2+1\bigr) =(z^2+1)(z^2+2z+2) $$
$$ =z^4+2z^3+3z^2+2z+2. $$
б) Корни: $$2+i,\ i-2,\ 2-i,\ -(2+i).$$
Составим многочлен:
$$ (z-(2+i))(z-(2-i))(z-(-2+i))(z-(-(2+i))) $$
$$ =\bigl((z-2)^2+1\bigr)\bigl((z+2)^2+1\bigr) $$
$$ =(z^2-4z+5)(z^2+4z+5) $$
$$ =(z^2+5)^2-(4z)^2 =z^4-6z^2+25. $$
в) Корни: $$4+3i,\ 4-3i,\ 2,\ 2.$$
Составим многочлен:
$$ (z-(4+3i))(z-(4-3i))(z-2)^2 $$
$$ =\bigl((z-4)^2+9\bigr)(z-2)^2 =(z^2-8z+25)(z^2-4z+4) $$
$$ =z^4-12z^3+61z^2-132z+100. $$
г) Корни: $$-1-8i,\ 8i,\ -10,\ -10.$$
Для многочлена с действительными коэффициентами вместе с корнем $$-1-8i$$ должен быть и сопряжённый корень $$-1+8i$$, а вместе с корнем $$8i$$ — корень $$-8i$$. Тогда уже получается не менее четырёх различных корней, и среди них нет пары $$8i$$ и $$-8i$$ в исходном наборе.
Следовательно, многочлен четвёртой степени с действительными коэффициентами и указанными корнями составить нельзя.
Ответ
а) $$z^4+2z^3+3z^2+2z+2$$;
б) $$z^4-6z^2+25$$;
в) $$z^4-12z^3+61z^2-132z+100$$;
г) составить нельзя.
