Упр.10.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.10. Пусть (z, z2, z3, …, zn, zn + 1, …) — геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos0,1Пи — isin0,1Пи. а) Укажите наименьшее натуральное значение n9 при котором zn лежит в третьей координатной четверти комплексной плоскости (не на координатных осях). б) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором zn лежит во второй координатной четверти (не на координатных осях). в) Сколько в этой прогрессии различных чисел? г) Найдите сумму этих различных чисел.

Подробный ответ

Пусть $$z=\cos 0{,}1\pi-i\sin 0{,}1\pi=\cos\left(-0{,}1\pi\right)+i\sin\left(-0{,}1\pi\right).$$

Тогда

$$z^n=\cos\left(-0{,}1\pi n\right)+i\sin\left(-0{,}1\pi n\right).$$

Аргумент числа $$z^n$$ равен $$-\frac{\pi}{10}n.$$

а) Число $$z^n$$ лежит в третьей четверти, если

$$-\pi<-\frac{\pi}{10}n<-\frac{\pi}{2}.$$

Умножим неравенство на $$-\frac{10}{\pi}$$, изменив знаки:

$$10>n>5,$$

то есть

$$5<n<10.$$

Наименьшее натуральное $$n=6.$$

б) Число $$z^n$$ лежит во второй четверти, если

$$-\frac{3\pi}{2}<-\frac{\pi}{10}n<-\pi.$$

После умножения на $$-\frac{10}{\pi}$$ получаем

$$15>n>10,$$

то есть

$$10<n<15.$$

Наименьшее натуральное $$n=11.$$

в) Так как

$$z=\cos\left(-\frac{\pi}{10}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right),$$

то период последовательности степеней равен

$$T=\frac{2\pi}{\pi/10}=20.$$

Значит, различных чисел в прогрессии $$20.$$

г) Все 20 различных значений степеней числа $$z$$ — вершины правильного 20-угольника на комплексной плоскости. Они разбиваются на пары противоположных вершин, суммы чисел в каждой паре равны нулю. Поэтому сумма всех различных чисел равна

$$0.$$