Упр.10.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.2. Решите уравнение относительно n (n принадлежит Z): а) i7 + in = 0; в) i-12 + i-13 + i9 + in = 2; б) i9 + in = 1 + i;г) i2005 + in = 1 — i.

1. а) $$i^7+i^n=0$$

   Так как $$i^7=i^4\cdot i^3=1\cdot(-i)=-i,$$ получаем

   $$-i+i^n=0 \Rightarrow i^n=i.$$

   Степени числа $$i$$ повторяются с периодом 4, поэтому

   $$n=4k+1,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2. б) $$i^9+i^n=1+i$$

   Так как $$i^9=i^8\cdot i=1\cdot i=i,$$ имеем

   $$i+i^n=1+i \Rightarrow i^n=1.$$

   Следовательно,

   $$n=4k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

3. в) $$i^{-12}+i^{-13}+i^9+i^n=2$$

   Вычислим степени:

   $$i^{-12}=(i^4)^{-3}=1,$$

   $$i^{-13}=i^{-12}\cdot i^{-1}=i^{-1}=-i,$$

   $$i^9=i.$$

   Тогда

   $$1-i+i+i^n=2 \Rightarrow 1+i^n=2 \Rightarrow i^n=1.$$

   Значит,

   $$n=4k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$i^{2005}+i^n=1-i$$

   Так как $$2005=4\cdot 501+1,$$ то

   $$i^{2005}=i.$$

   Получаем

   $$i+i^n=1-i \Rightarrow i^n=1-2i.$$

   Но степень числа $$i$$ может принимать только значения $$1,\ i,\ -1,\ -i,$$ поэтому равенство невозможно.

Ответ

а) $$n=4k+1$$; б) $$n=4k$$; в) $$n=4k$$; г) корней нет, $$k\in \mathbb{Z}$$.