Упр.10.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.19. а) Для многочлена z3 + az2 + bz + с и его корней z1, z2, z3 докажите, что выполняются следующие соотношения (теорема Виета): zi + z2 + z3 = -а, z1z2 + z2z3 + z3z1 = b, z1z2z3 = -С. б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведенного многочлена четвертой степени.

а) Пусть корни многочлена $$z^3+az^2+bz+c$$ равны $$z_1,\ z_2,\ z_3.$$ Тогда

$$z^3+az^2+bz+c=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3).$$

Раскроем скобки:

$$ (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) = (z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2)(z-z_3) $$

$$ = z^3-(z_1+z_2+z_3)z^2+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)z-z_1z_2z_3. $$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $$z$$, получаем:

$$z_1+z_2+z_3=-a,$$

$$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=b,$$

$$z_1z_2z_3=-c.$$

Это и есть формулы Виета для многочлена третьей степени.

б) Пусть корни приведенного многочлена четвертой степени

$$z^4+az^3+bz^2+cz+d$$

равны $$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4.$$ Тогда

$$z^4+az^3+bz^2+cz+d=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4).$$

После раскрытия скобок получаем:

$$ (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4) = z^4-(z_1+z_2+z_3+z_4)z^3 $$

$$ +(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)z^2 $$

$$ -(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4)z +z_1z_2z_3z_4. $$

Сравнивая коэффициенты, получаем теорему Виета для приведенного многочлена четвертой степени:

$$z_1+z_2+z_3+z_4=-a,$$

$$z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=b,$$

$$z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4=-c,$$

$$z_1z_2z_3z_4=d.$$

Ответ

Для $$z^3+az^2+bz+c$$:

$$z_1+z_2+z_3=-a,\quad z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=b,\quad z_1z_2z_3=-c.$$

Для $$z^4+az^3+bz^2+cz+d$$:

$$z_1+z_2+z_3+z_4=-a,$$

$$z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=b,$$

$$z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4=-c,$$

$$z_1z_2z_3z_4=d.$$