Упр.10.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.18. а) Составьте многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа z1 = -5, z2,3 = 4 ± 3i. б) Найдите числа z1 + z2 + z3, z1z2 + z2z3 + z3z1, z1z2z3 и сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а

Так как многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то вместе с корнем $$4-3i$$ обязательно есть сопряжённый корень $$4+3i$$.

Тогда искомый многочлен имеет вид:

$$ (z+5)(z-(4-3i))(z-(4+3i)) $$

Сначала перемножим комплексно-сопряжённые множители:

$$ (z-(4-3i))(z-(4+3i))=(z-4+3i)(z-4-3i)=(z-4)^2+3^2 $$

$$ =(z-4)^2+9=z^2-8z+25 $$

Теперь умножим на $$z+5$$:

$$ (z+5)(z^2-8z+25)=z^3-8z^2+25z+5z^2-40z+125 $$

$$ =z^3-3z^2-15z+125 $$

Значит, искомый многочлен:

$$ z^3-3z^2-15z+125 $$

Найдём суммы корней:

$$ z_1+z_2+z_3=-5+(4-3i)+(4+3i)=3 $$

$$ z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=-5(4-3i)+(4-3i)(4+3i)-5(4+3i) $$

$$ =-20+15i+16+9-20-15i=-15 $$

$$ z_1z_2z_3=-5(4-3i)(4+3i)=-5(16+9)=-125 $$

Для многочлена $$z^3-3z^2-15z+125$$ по формулам Виета:

$$ z_1+z_2+z_3=3,\quad z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=-15,\quad z_1z_2z_3=-125 $$

Эти значения совпадают с коэффициентами многочлена с учётом формул Виета.

Ответ

а) $$z^3-3z^2-15z+125$$.

б) $$z_1+z_2+z_3=3,\quad z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=-15,\quad z_1z_2z_3=-125.$$