Упр.10.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.17. Составьте (если возможно) многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа: а) z1 = 1, z2 = 2 — i, z3 = 2 + i; б) z1 = 0, z2 = 3 + 2i, z3 = 3 — 2i; в) z1 = 1, z2 = 2 — i, z3 = 2 + 2i; г) z1 = 1, z2 = 2i, z3 = 3i.

1. Если многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то вместе с ним обязательно имеет и сопряжённый корень.

2. а) Корни $$1,\; 2-i,\; 2+i$$ подходят, так как комплексные корни сопряжённые.

   $$P(z)=(z-1)(z-(2-i))(z-(2+i))$$

   $$P(z)=(z-1)\bigl((z-2)^2+1\bigr)=(z-1)(z^2-4z+5)$$

   $$P(z)=z^3-5z^2+9z-5$$

3. б) Корни $$0,\; 3+2i,\; 3-2i$$ подходят, так как комплексные корни сопряжённые.

   $$P(z)=z(z-(3+2i))(z-(3-2i))$$

   $$P(z)=z\bigl((z-3)^2+4\bigr)=z(z^2-6z+13)$$

   $$P(z)=z^3-6z^2+13z$$

4. в) Корни $$1,\; 2-i,\; 2+2i$$ не подходят: число $$2-i$$ имеет сопряжённый корень $$2+i$$, а его среди данных корней нет.

5. г) Корни $$1,\; 2i,\; 3i$$ не подходят: для действительных коэффициентов вместе с корнем $$2i$$ должен быть корень $$-2i$$, а вместе с корнем $$3i$$ — корень $$-3i$$.

Ответ

а) $$z^3-5z^2+9z-5$$;
б) $$z^3-6z^2+13z$$;
в) составить нельзя;
г) составить нельзя.