Упр.10.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.16. а) Запишите в тригонометрической форме и изобразите на комплексной плоскости все значения корень 5 степени 1. б) Докажите тождество z5 — 1 = (z — 1 )(z4 + z3 + z2 + z + 1); подберите действительные числа А < В так, чтобы выполнялось тождество z4 + z3 + z2 + z + 1 = (z2 + + Az + 1)(z2 + Bz + 1). в) Используя результаты пунктов а) иб), вычислите cos 72° и sin 72°. г) Найдите сторону а5 правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, и сторону а10 правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность.

а) Все корни уравнения $$z^5=1$$ имеют вид

$$z_k=\cos \frac{2\pi k}{5}+i\sin \frac{2\pi k}{5}, \quad k=0,1,2,3,4.$$

Следовательно,

$$z_0=1,$$

$$z_1=\cos 72^\circ+i\sin 72^\circ,$$

$$z_2=\cos 144^\circ+i\sin 144^\circ,$$

$$z_3=\cos 216^\circ+i\sin 216^\circ,$$

$$z_4=\cos 288^\circ+i\sin 288^\circ.$$

На комплексной плоскости это 5 точек единичной окружности, расположенных под углами $$0^\circ,72^\circ,144^\circ,216^\circ,288^\circ.$$

б) Раскроем скобки:

$$ (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=z^5+z^4+z^3+z^2+z-z^4-z^3-z^2-z-1=z^5-1. $$

Тождество доказано.

Пусть

$$z^4+z^3+z^2+z+1=(z^2+Az+1)(z^2+Bz+1).$$

Тогда

$$ (z^2+Az+1)(z^2+Bz+1)=z^4+(A+B)z^3+(AB+2)z^2+(A+B)z+1. $$

Сравнивая коэффициенты, получаем систему:

$$ \begin{cases} A+B=1,\\ AB+2=1. \end{cases} $$

Отсюда

$$AB=-1.$$

Числа $$A$$ и $$B$$ — корни уравнения

$$t^2-t-1=0.$$

Тогда

$$ t=\frac{1\pm \sqrt5}{2}. $$

При $$A<B$$ имеем

$$A=\frac{1-\sqrt5}{2}, \quad B=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

в) Из пункта б) и того, что $$z_1=\cos 72^\circ+i\sin 72^\circ$$ — корень уравнения $$z^5-1=0$$, следует, что вместе с ним корнем является и

$$z_2=\cos 288^\circ+i\sin 288^\circ=\cos 72^\circ-i\sin 72^\circ.$$

Сумма этих корней равна

$$z_1+z_2=2\cos 72^\circ.$$

С другой стороны, для квадратного множителя с действительными коэффициентами сумма корней равна $$-A$$, значит

$$2\cos 72^\circ=-A=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Отсюда

$$\cos 72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

Тогда

$$ \sin 72^\circ=\sqrt{1-\cos^2 72^\circ} =\sqrt{1-\frac{(\sqrt5-1)^2}{16}} =\sqrt{\frac{10+2\sqrt5}{16}} =\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}. $$

г) Для правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, сторона равна хорде, стягивающей центральный угол $$72^\circ$$:

$$ a_5^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 72^\circ =2-2\cdot \frac{\sqrt5-1}{4} =\frac{5-\sqrt5}{2}. $$

Значит,

$$a_5=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$

Для правильного десятиугольника сторона — это хорда, стягивающая центральный угол $$36^\circ$$, поэтому

$$ a_{10}=2\sin 18^\circ=2\cos 72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{2}. $$

Ответ

$$ z_k=\cos \frac{2\pi k}{5}+i\sin \frac{2\pi k}{5}, \quad k=0,1,2,3,4; $$

$$ A=\frac{1-\sqrt5}{2}, \quad B=\frac{1+\sqrt5}{2}; $$

$$ \cos 72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}, \quad \sin 72^\circ=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}; $$

$$ a_5=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}, \quad a_{10}=\frac{\sqrt5-1}{2}. $$