Упр.10.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.15. Запишите в тригонометрической форме тот из корней корень 6 степени z, который принадлежит: а) первой четверти; z = -i; б) второй четверти; z — 0,5(i — корень 3); в) второй четверти; z — 8i; г) третьей четверти; z = -13,5(i + корень 3).

1. а) $$z=-i=1\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Тогда корни шестой степени:

   $$\sqrt[6]{z}=\cos\left(\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi k}{6}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi k}{6}\right), \quad k=0,1,\dots,5.$$

   Корень из первой четверти соответствует $$k=0$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}.$$

2. б) $$z=0{,}5(i-\sqrt3)=1\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right)=1\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\cos\left(\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,\dots,5.$$

   Корень из второй четверти соответствует $$k=0$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\cos\frac{5\pi}{36}+i\sin\frac{5\pi}{36}.$$

3. в) $$z=8i=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt[6]{8}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)\right), \quad k=0,1,\dots,5.$$

   Так как $$\sqrt[6]{8}=\sqrt2,$$ то для корня из второй четверти берём $$k=1$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).$$

4. г) $$z=-13{,}5(i+\sqrt3)=-13{,}5\sqrt3-13{,}5i=27\left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}\right)=27\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt[6]{27}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)\right), \quad k=0,1,\dots,5.$$

   Так как $$\sqrt[6]{27}=\sqrt3,$$ то корень из третьей четверти соответствует $$k=2$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt3\left(\cos\frac{31\pi}{36}+i\sin\frac{31\pi}{36}\right).$$

Ответ

а) $$\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}$$; б) $$\cos\frac{5\pi}{36}+i\sin\frac{5\pi}{36}$$; в) $$\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$$; г) $$\sqrt3\left(\cos\frac{31\pi}{36}+i\sin\frac{31\pi}{36}\right).$$