Упр.10.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.14. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: а) корень 6 степени 1; б)корень 6 степени -1; в) (корень 6 степени 1)2; г) (корень 6 степени -1)3.

Используем формулу корней $$n$$-й степени из комплексного числа $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$$:

$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \quad k=0,1,\dots,n-1.$$

а) Для числа $$1$$ имеем $$1=\cos 0+i\sin 0$$. Тогда

$$ \sqrt[6]{1}=\cos \frac{2\pi k}{6}+i\sin \frac{2\pi k}{6} =\cos \frac{\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi k}{3}, \quad k=0,1,2,3,4,5. $$

Получаем корни:

$$ \begin{aligned} z_0&=\cos 0+i\sin 0=1,\\ z_1&=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_2&=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_3&=\cos \pi+i\sin \pi=-1,\\ z_4&=\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_5&=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned} $$

б) Для числа $$-1$$ имеем $$-1=\cos \pi+i\sin \pi$$. Тогда

$$ \sqrt[6]{-1}=\cos \frac{\pi+2\pi k}{6}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{6} =\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\right), $$

$$k=0,1,2,3,4,5.$$

Получаем:

$$ \begin{aligned} z_0&=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\\ z_1&=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i,\\ z_2&=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\\ z_3&=\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i,\\ z_4&=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i,\\ z_5&=\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i. \end{aligned} $$

в) Возводим найденные корни из пункта а) в квадрат:

$$ \left(\sqrt[6]{1}\right)^2=\cos \frac{2\pi k}{3}+i\sin \frac{2\pi k}{3}, \quad k=0,1,2. $$

Следовательно,

$$ \begin{aligned} z_0&=\cos 0+i\sin 0=1,\\ z_1&=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_2&=\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned} $$

г) Возводим найденные корни из пункта б) в куб:

$$ \left(\sqrt[6]{-1}\right)^3=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right), \quad k=0,1. $$

Тогда

$$ z_0=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i,\qquad z_1=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i. $$

Ответ

а) $$1,\ \frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\ -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\ -1,\ -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\ \frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$;

б) $$\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\ i,\ -\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\ -\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i,\ -i,\ \frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i$$;

в) $$1,\ -\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\ -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$;

г) $$i,\ -i$$.