Упр.10.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.13. а) корень 4 степени 1; б) корень 4 степени -1.

а) Найдём все корни четвёртой степени из числа $$1.$$

Представим число в тригонометрической форме:

$$1=1\cdot(\cos 0+i\sin 0).$$

Тогда

$$\sqrt[4]{1}=\sqrt[4]{1}\left(\cos \frac{0+2\pi k}{4}+i\sin \frac{0+2\pi k}{4}\right), \quad k=0,1,2,3.$$

Получаем:

$$z_k=\cos \frac{\pi k}{2}+i\sin \frac{\pi k}{2}.$$

При $$k=0,1,2,3$$ имеем:

$$z_1=1,\quad z_2=i,\quad z_3=-1,\quad z_4=-i.$$

Эти точки лежат на единичной окружности и соответствуют точкам $$1,\ i,\ -1,\ -i$$ на комплексной плоскости.

б) Найдём все корни четвёртой степени из числа $$-1.$$

Запишем:

$$-1=1\cdot(\cos \pi+i\sin \pi).$$

Тогда

$$\sqrt[4]{-1}=\sqrt[4]{1}\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{4}\right), \quad k=0,1,2,3.$$

Следовательно,

$$z_k=\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right).$$

При $$k=0,1,2,3$$ получаем:

$$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\quad z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\quad z_3=-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2},\quad z_4=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$

Эти точки лежат на окружности радиуса $$1$$ и образуют вершины квадрата, повернутого на $$45^\circ.$$

Ответ

а) $$1,\ i,\ -1,\ -i.$$

б) $$\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$