Упр.10.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 10.12. а) корень 3 степени 8; б) корень 3 степени -27; в) корень 3 степени i; г)корень 3 степени -64i.

Используем формулу корней n-й степени из комплексного числа $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi):$$

$$ \sqrt[3]{z_k}=\sqrt[3]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2. $$

1. $$8=8(\cos 0+i\sin 0), \quad \sqrt[3]{8}=2.$$

   $$ z_k=2\left(\cos \frac{2\pi k}{3}+i\sin \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2. $$

   $$ z_1=2\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)=-1+i\sqrt{3}, $$
   $$ z_2=2\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)=-1-i\sqrt{3}, $$
   $$ z_3=2\left(\cos \frac{6\pi}{3}+i\sin \frac{6\pi}{3}\right)=2. $$

2. $$-27=27(\cos \pi+i\sin \pi), \quad \sqrt[3]{27}=3.$$

   $$ z_k=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2. $$

   $$ z_1=3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-3, $$
   $$ z_2=3\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}(1-i\sqrt{3}), $$
   $$ z_3=3\left(\cos \frac{7\pi}{3}+i\sin \frac{7\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}(1+i\sqrt{3}). $$

3. $$i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}, \quad \sqrt[3]{1}=1.$$

   $$ z_k=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2. $$

   $$ z_1=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}, $$
   $$ z_2=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}, $$
   $$ z_3=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i. $$

4. $$-64i=64\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right), \quad \sqrt[3]{64}=4.$$

   $$ z_k=4\left(\cos \frac{3\pi/2+2\pi k}{3}+i\sin \frac{3\pi/2+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2. $$

   $$ z_1=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=4i, $$
   $$ z_2=4\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}-2i, $$
   $$ z_3=4\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right)=2\sqrt{3}-2i. $$

Ответ

а) $$-1+i\sqrt{3},\ -1-i\sqrt{3},\ 2$$;
б) $$-3,\ \frac{3}{2}(1-i\sqrt{3}),\ \frac{3}{2}(1+i\sqrt{3})$$;
в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},\ -i$$;
г) $$4i,\ -2\sqrt{3}-2i,\ 2\sqrt{3}-2i$$.