Упр.10.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите их на комплексной плоскости; найдите сумму и произведение вычисленных корней: 10.11. a) корень i; б) корень -i; в) корень 1-i г) корень i — 10.
$$i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}$$
Тогда
$$\sqrt{i}=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4},\quad \cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}$$
То есть
$$z_{1,2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1+i)$$
Сумма и произведение корней:
$$z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=-i$$
$$-i=\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)$$
Тогда
$$\sqrt{-i}=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right),\quad \cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}$$
То есть
$$z_{1,2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1-i)$$
Сумма и произведение корней:
$$z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=i$$
$$1-i=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$$
Тогда
$$\sqrt{1-i}=2^{1/4}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right),\quad 2^{1/4}\left(\cos \frac{7\pi}{8}+i\sin \frac{7\pi}{8}\right)$$
Следовательно,
$$z_{1,2}=\pm \frac12\left(\sqrt{2\sqrt2+2}-i\sqrt{2\sqrt2-2}\right)$$
Сумма и произведение корней:
$$z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=i-1$$
$$i-10=-10+i$$
Пусть $$z=x+iy$$. Тогда из формулы для квадратного корня комплексного числа получаем:
$$\sqrt{-10+i}=\pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}\right)$$
Сумма и произведение корней:
$$z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=10-i$$
Ответ
а) $$z_{1,2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1+i),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=-i$$;
б) $$z_{1,2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1-i),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=i$$;
в) $$z_{1,2}=\pm \frac12\left(\sqrt{2\sqrt2+2}-i\sqrt{2\sqrt2-2}\right),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=i-1$$;
г) $$z_{1,2}=\pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}\right),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=10-i$$.
