Упр.1.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.8. Какие из следующих утверждений верны: а) сумма многочленов степени n есть многочлен степени не выше n; б) разность многочленов степени n есть многочлен степени n; в) произведение многочленов степени n есть многочлен степени не выше n; г) произведение многочленов степени n есть многочлен степени 2n?

1. Сумма двух многочленов степени $$n$$ имеет вид

   $$ (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0)+(b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_0) $$

   $$ =(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\dots+(a_0+b_0). $$

   Степень суммы не выше $$n$$, значит утверждение верно.

2. Разность многочленов степени $$n$$ не обязана иметь степень $$n$$. Например,

   $$ (2x^n+x^{n-1}+2)-(2x^n+x^{n-2}+1)=x^{n-1}-x^{n-2}+1. $$

   Получившийся многочлен имеет степень $$n-1$$, значит утверждение неверно.

3. Произведение многочленов степени $$n$$ вообще говоря имеет степень $$2n$$, а не не выше $$n$$. Например,

   $$ (x^n+1)(x^n-1)=x^{2n}-1. $$

   Степень произведения равна $$2n$$, значит утверждение неверно.

4. Произведение двух многочленов степени $$n$$ имеет старший член вида $$a_n b_n x^{2n}$$, поэтому его степень равна $$2n$$.

   Следовательно, утверждение верно.

Ответ

Верны утверждения а и г.