Упр.1.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.5. а) (х2 — Зх + 2)2 — (х2 — x)2; б) (x + 1)(х7 — х6 + … — х2 + х — 1); в) (2 -x)3 +(х- 1)3; г) (х5 — x4 + х3 — x2 + х — 1)(х5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).

1. $$ (x^2-3x+2)^2-(x^2-x)^2 $$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$ \bigl((x^2-3x+2)-(x^2-x)\bigr)\bigl((x^2-3x+2)+(x^2-x)\bigr) $$

   $$ (2-2x)(2x^2-4x+2)=4(1-x)(x^2-2x+1) $$

   $$ =4(1-x)(x-1)^2=-4(x-1)^3 $$

   $$ =-4x^3+12x^2-12x+4 $$

2. $$ (x+1)(x^7-x^6+\dots-x^2+x-1) $$

   Это произведение сокращается по формуле:

   $$ (x+1)(x^7-x^6+\dots-x^2+x-1)=x^8-1 $$

3. $$ (2-x)^3+(x-1)^3 $$

   Представим сумму кубов:

   $$ (2-x)^3+(x-1)^3=\bigl((2-x)+(x-1)\bigr)\bigl((2-x)^2-(2-x)(x-1)+(x-1)^2\bigr) $$

   $$ =1\cdot\bigl((2-x)^2-(2-x)(x-1)+(x-1)^2\bigr) $$

   $$ =(4-4x+x^2)-(2x-2-x^2+x)+(x^2-2x+1) $$

   $$ =3x^2-9x+7 $$

4. $$ (x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) $$

   Используем формулу:

   $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $$

   где $$a=x^5+x^3+x$$, $$b=x^4+x^2+1$$. Тогда

   $$ (x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=x^{10}+x^8+x^6-x^4-x^2-1 $$

Ответ

а) $$-4x^3+12x^2-12x+4$$;
б) $$x^8-1$$;
в) $$3x^2-9x+7$$;
г) $$x^{10}+x^8+x^6-x^4-x^2-1$$.