Упр.1.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
Чтобы все корни многочлена $$g(x)$$ были корнями многочлена $$f(x)$$, достаточно показать, что $$f(x)$$ делится на $$g(x)$$ без остатка.
а) $$g(x)=x^2-7x-1,$$ $$f(x)=x^5-7x^4-5x^2-15x-2.$$
Выполним деление многочлена $$f(x)$$ на $$g(x)$$:
$$ \begin{aligned} x^5-7x^4-5x^2-15x-2 &: (x^2-7x-1) = x^3+x+2,\\ f(x) &= (x^2-7x-1)(x^3+x+2). \end{aligned} $$
Остаток равен $$0$$, значит, $$g(x)$$ является делителем $$f(x)$$.
б) $$g(x)=x^3-5x^2+2x-3,$$ $$f(x)=x^5-12x^4+36x^3-12x^2+19x+3.$$
Разделим $$f(x)$$ на $$g(x)$$:
$$ \begin{aligned} x^5-12x^4+36x^3-12x^2+19x+3 &: (x^3-5x^2+2x-3) = x^2-7x-1,\\ f(x) &= (x^3-5x^2+2x-3)(x^2-7x-1). \end{aligned} $$
Остаток также равен $$0$$, значит, $$g(x)$$ делит $$f(x)$$.
Ответ
а) $$f(x)=(x^2-7x-1)(x^3+x+2);$$
б) $$f(x)=(x^3-5x^2+2x-3)(x^2-7x-1).$$
