Упр.1.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.48. При каких целых значениях а, Ь и с многочлен f(x) = х4 + ах3 + bх2 + сх + 2 имеет целый корень кратности 3? Для каждой тройки таких значений а, Ь и с найдите корни многочлена f(х).

Подробный ответ

Пусть у многочлена $$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+2$$ есть целый корень кратности 3. Тогда этот корень должен быть делителем свободного члена 2, то есть возможны только значения $$x=\pm 1,\pm 2.$$

Так как старший коэффициент равен 1, а свободный член равен 2, то разложение на множители с целым корнем кратности 3 может иметь вид:

$$f(x)=(x\pm 1)^3(x\pm 2).$$

Рассмотрим все возможные случаи.

1) $$f(x)=(x+1)^3(x+2).$$

Тогда

$$ (x+1)^3(x+2)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+2)=x^4+5x^3+9x^2+7x+2. $$

Значит, $$a=5,\ b=9,\ c=7.$$ Корни многочлена: $$x=-1$$ кратности 3 и $$x=-2.$$

2) $$f(x)=(x-1)^3(x-2).$$

Тогда

$$ (x-1)^3(x-2)=(x^3-3x^2+3x-1)(x-2)=x^4-5x^3+9x^2-7x+2. $$

Значит, $$a=-5,\ b=9,\ c=-7.$$ Корни многочлена: $$x=1$$ кратности 3 и $$x=2.$$

Остальные варианты $$ (x\pm 1)^3(x\mp 2) $$ не подходят, так как дают свободный член $$-2$$, а не $$2$$.