Упр.1.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.47. При каких значениях b и с многочлен f(x) = х4 + 8х3 + bх2 + сх + 1 имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений b и с найдите корни многочлена.

Пусть корни многочлена $$f(x)=x^4+8x^3+bx^2+cx+1$$ — это $$x_1$$ и $$x_2$$, причём каждый из них второй кратности. Тогда

$$f(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2.$$

Раскроем скобки:

$$ (x-x_1)^2(x-x_2)^2 = x^4-2(x_1+x_2)x^3+(x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)x^2-2x_1x_2(x_1+x_2)x+x_1^2x_2^2. $$

Сравнивая коэффициенты с многочленом $$x^4+8x^3+bx^2+cx+1$$, получаем систему:

$$ -2(x_1+x_2)=8, \qquad x_1^2x_2^2=1. $$

Отсюда

$$x_1+x_2=-4, \qquad x_1x_2=\pm 1.$$

Теперь найдём $$b$$ и $$c$$.

$$ b=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2+2x_1x_2, $$

$$ c=-2x_1x_2(x_1+x_2). $$

1) Если $$x_1x_2=-1$$, то

$$ b=(-4)^2+2(-1)=16-2=14, $$

$$ c=-2\cdot(-1)\cdot(-4)=-8. $$

Корни найдём из уравнения

$$ t^2+4t-1=0. $$

Тогда

$$ t=\frac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=-2\pm\sqrt5. $$

Значит, корни многочлена: $$x=-2+\sqrt5$$ и $$x=-2-\sqrt5$$, каждый кратности 2.

2) Если $$x_1x_2=1$$, то

$$ b=(-4)^2+2\cdot1=16+2=18, $$

$$ c=-2\cdot1\cdot(-4)=8. $$

Корни найдём из уравнения

$$ t^2+4t+1=0. $$

Тогда

$$ t=\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}=-2\pm\sqrt3. $$

Значит, корни многочлена: $$x=-2+\sqrt3$$ и $$x=-2-\sqrt3$$, каждый кратности 2.

Ответ

$$b=14,\ c=-8,\ x=-2\pm\sqrt5;$$

$$b=18,\ c=8,\ x=-2\pm\sqrt3.$$