Упр.1.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.46. Докажите, что у данного многочлена р(х) нет рациональных корней: а)р(х) = 7х15 — 13; б) р(х) = Зх7 + 1.
Рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами, если он существует, имеет вид несократимой дроби $$\frac{m}{n}$$, где $$m$$ делит свободный член, а $$n$$ делит старший коэффициент.
$$p(x)=7x^{15}-13$$
Пусть $$x=\frac{m}{n}$$ — рациональный корень, причём дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима. Тогда
$$ 7\left(\frac{m}{n}\right)^{15}-13=0 $$
$$ 7m^{15}=13n^{15} $$Отсюда $$m$$ делится на $$13$$, а $$n$$ делится на $$7$$. Но тогда дробь $$\frac{m}{n}$$ не может быть несократимой, если одновременно $$m$$ и $$n$$ имеют такие делители. Значит, рационального корня нет.
$$p(x)=3x^{7}+1$$
Пусть $$x=\frac{m}{n}$$ — рациональный корень, где $$\frac{m}{n}$$ несократима. Тогда
$$ 3\left(\frac{m}{n}\right)^{7}+1=0 $$
$$ 3m^{7}+n^{7}=0 $$
$$ 3m^{7}=-n^{7} $$Следовательно, $$m$$ делится на $$1$$, а $$n$$ — на $$3$$. Тогда возможные рациональные корни должны быть целыми делителями числа $$1$$, то есть $$x=\pm 1$$. Проверим:
$$ p(1)=3\cdot 1^{7}+1=4\neq 0 $$
$$ p(-1)=3\cdot (-1)^{7}+1=-3+1=-2\neq 0 $$Значит, рациональных корней у многочлена нет.
Ответ
а) рациональных корней нет; б) рациональных корней нет.
