Упр.1.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.45. Пусть р(х) — многочлен третьей степени; р(1) = р(2) = р(3) = 0. Докажите, что: а) р(4) /= 0; в) р(1,5)+ р(2,5) = 0; б) р(7)/= р(-3); г) р(5) = 4р(4).

Так как $$p(x)$$ — многочлен третьей степени и $$p(1)=p(2)=p(3)=0,$$ то его можно представить в виде

$$p(x)=a(x-1)(x-2)(x-3),$$

где $$a\neq 0.$$

1. Найдём $$p(4):$$

   $$p(4)=a(4-1)(4-2)(4-3)=a\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6a\neq 0.$$

2. Проверим равенство $$p(7)\neq p(-3):$$

   $$p(7)=a(7-1)(7-2)(7-3)=a\cdot 6\cdot 5\cdot 4=120a,$$

   $$p(-3)=a(-3-1)(-3-2)(-3-3)=a\cdot (-4)\cdot (-5)\cdot (-6)=-120a.$$

   Следовательно, $$p(7)\neq p(-3).$$

3. Найдём сумму $$p(1{,}5)+p(2{,}5):$$

   $$p(1{,}5)=a(1{,}5-1)(1{,}5-2)(1{,}5-3)=a\cdot 0{,}5\cdot (-0{,}5)\cdot (-1{,}5)=0{,}375a,$$

   $$p(2{,}5)=a(2{,}5-1)(2{,}5-2)(2{,}5-3)=a\cdot 1{,}5\cdot 0{,}5\cdot (-0{,}5)=-0{,}375a.$$

   Тогда

   $$p(1{,}5)+p(2{,}5)=0{,}375a-0{,}375a=0.$$

4. Проверим равенство $$p(5)=4p(4):$$

   $$p(5)=a(5-1)(5-2)(5-3)=a\cdot 4\cdot 3\cdot 2=24a,$$

   $$4p(4)=4\cdot a(4-1)(4-2)(4-3)=4\cdot a\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24a.$$

   Значит, $$p(5)=4p(4).$$

Ответ

$$p(4)\neq 0,$$ $$p(7)\neq p(-3),$$ $$p(1{,}5)+p(2{,}5)=0,$$ $$p(5)=4p(4).$$