Упр.1.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.44. а) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0) = 1, р( 1) = 2, р(2) = 3. б) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0) = р(1) = р(4) = 0.

а) Пусть

$$p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0.$$

Из условия $$p(0)=1$$ получаем:

$$a_0=1.$$

Из условия $$p(1)=2$$:

$$1+a_2+a_1+1=2,$$

$$a_1+a_2=0,$$

$$a_1=-a_2.$$

Из условия $$p(2)=3$$:

$$8+4a_2+2a_1+1=3,$$

$$4a_2+2a_1=-6,$$

$$2a_2+a_1=-3.$$

Подставим $$a_1=-a_2$$:

$$2a_2-a_2=-3,$$

$$a_2=-3,$$

$$a_1=3.$$

Тогда

$$p(x)=x^3-3x^2+3x+1.$$

б) Так как многочлен приведённый и

$$p(0)=p(1)=p(4)=0,$$

то его корни: $$0, 1, 4$$. Значит,

$$p(x)=x(x-1)(x-4).$$

Раскроем скобки:

$$p(x)=x(x^2-5x+4)=x^3-5x^2+4x.$$

Ответ

а) $$p(x)=x^3-3x^2+3x+1$$;

б) $$p(x)=x^3-5x^2+4x$$.