Упр.1.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.43. а) Найдите многочлен р(х) второй степени, если р(0) = -1, р(1) = 2, р(2) = 3. б) Найдите приведенный многочлен р(х) второй степени, если р(-2) = 3, р(-2,5) = 8.

а) Пусть

$$p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0.$$

Из условия $$p(0)=-1$$ получаем:

$$a_0=-1.$$

Из условия $$p(1)=2$$:

$$a_2+a_1+a_0=2,$$

$$a_2+a_1-1=2,$$

$$a_2+a_1=3.$$

Из условия $$p(2)=3$$:

$$4a_2+2a_1+a_0=3,$$

$$4a_2+2a_1-1=3,$$

$$2a_2+a_1=2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a_2+a_1=3,\\ 2a_2+a_1=2. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$a_2=-1.$$

Тогда

$$a_1=3-(-1)=4.$$

Следовательно,

$$p(x)=-x^2+4x-1.$$

б) Так как многочлен приведённый, то

$$p(x)=x^2+a_1x+a_0.$$

Из условия $$p(-2)=3$$:

$$4-2a_1+a_0=3,$$

$$-2a_1+a_0=-1.$$

Из условия $$p(-2{,}5)=8$$:

$$6{,}25-2{,}5a_1+a_0=8,$$

$$-2{,}5a_1+a_0=1{,}75.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$-0{,}5a_1=2{,}75,$$

$$a_1=-5{,}5.$$

Подставим в $$-2a_1+a_0=-1$$:

$$-2\cdot(-5{,}5)+a_0=-1,$$

$$11+a_0=-1,$$

$$a_0=-12.$$

Значит,

$$p(x)=x^2-5{,}5x-12.$$

Ответ

а) $$p(x)=-x^2+4x-1$$; б) $$p(x)=x^2-5{,}5x-12$$.