Упр.1.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.40. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всех его целых корней, если эти кратности больше 1: а)х3 — 4х2 + х + 6; б) х4 + 5х2 — 6; в) х4 — 2х3 — 6х2 + 5х + 2; г)х6 + х5 — 10х4 — 12х3 + 19х2 + 35х + 14.

1. а) $$x^3-4x^2+x+6$$

   Проверим целые делители свободного члена $$6$$: $$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$$. Подходит $$x=-1$$:

   $$(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=0.$$

   Значит, $$x+1$$ — множитель многочлена. Делим на $$x+1$$:

   $$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6).$$

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

   Следовательно, целые корни: $$-1,\ 2,\ 3$$.

2. б) $$x^4+5x^2-6$$

   Сделаем замену $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2+5t-6=0.$$

   $$D=5^2+4\cdot 6=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}.$$

   Получаем $$t_1=1,\ t_2=-6$$. Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=1$$:

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

   Целые корни: $$-1,\ 1$$.

3. в) $$x^4-2x^3-6x^2+5x+2$$

   Проверим $$x=1$$:

   $$1-2-6+5+2=0.$$

   Значит, $$x-1$$ — множитель. Делим:

   $$x^4-2x^3-6x^2+5x+2=(x-1)(x^3-x^2-7x-2).$$

   Проверим $$x=-2$$:

   $$(-2)^3-(-2)^2-7(-2)-2=-8-4+14-2=0.$$

   Тогда

   $$x^3-x^2-7x-2=(x+2)(x^2-3x-1).$$

   Уравнение $$x^2-3x-1=0$$ имеет корни

   $$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2},$$

   они нецелые. Значит, целые корни: $$-2,\ 1$$.

4. г) $$x^6+x^5-10x^4-12x^3+19x^2+35x+14$$

   Проверим $$x=-1$$:

   $$1-1-10+12+19-35+14=0.$$

   Значит, $$x+1$$ — множитель. Последовательно делим на $$x+1$$ три раза:

   $$x^6+x^5-10x^4-12x^3+19x^2+35x+14=(x+1)^3(x^3-2x^2-7x+14).$$

   Проверим $$x=2$$:

   $$8-8-14+14=0.$$

   Тогда

   $$x^3-2x^2-7x+14=(x-2)(x^2-7).$$

   Корни $$x^2-7=0$$ равны $$x=\pm\sqrt7$$, они нецелые.

   Итак, целые корни: $$-1$$ кратности $$3$$ и $$2$$.

Ответ

а) $$\{-1,\,2,\,3\}$$;

б) $$\{-1,\,1\}$$;

в) $$\{-2,\,1\}$$;

г) $$\{-1,\,2\}$$, причём $$-1$$ — корень кратности $$3$$.