Упр.1.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.39. В данное предложение вместо многоточия вставьте один из пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»; докажите полученное утверждение: а) для того чтобы многочлен f(х) с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен х — х0, х0 принадлежит Z, х0 /= 0, … ,чтобы его свободный член делился без остатка на х0; б) для того чтобы свободный член многочлена f(х) с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число х0 /= 0, … , чтобы х0 был корнем многочлена f(х).

Подробный ответ

а) Если многочлен $$f(x)$$ с целыми коэффициентами делится без остатка на двучлен $$x-x_0$$, где $$x_0\in \mathbb{Z},\ x_0\ne 0,$$ то по теореме Безу $$f(x_0)=0$$. Тогда

$$a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0=0,$$

откуда

$$a_0=-(a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0).$$

Правая часть делится на $$x_0$$, значит, и свободный член $$a_0$$ делится на $$x_0$$. Следовательно, это необходимо.

Но этого недостаточно: например, для многочлена $$f(x)=x^3+5$$ свободный член $$5$$ делится на $$5$$, однако при делении на $$x-5$$ остаток не равен нулю.

б) Если свободный член многочлена $$f(x)$$ с целыми коэффициентами делится без остатка на целое число $$x_0\ne 0,$$ то из этого не следует, что $$x_0$$ обязательно является корнем многочлена. Например, у многочлена $$f(x)=x^3+5$$ свободный член $$5$$ делится на $$5,$$ но $$f(5)\ne 0$$.

Зато если $$x_0$$ является корнем многочлена, то $$f(x_0)=0$$, и из равенства

$$a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0=0$$

получаем

$$a_0=-x_0(a_nx_0^{n-1}+a_{n-1}x_0^{n-2}+\cdots+a_1),$$

то есть свободный член делится на $$x_0$$. Значит, это достаточно.