Упр.1.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.38. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней: а) х6 — 5х3 +7; б) х4 — х + 2.

а) Рассмотрим многочлен $$x^6-5x^3+7.$$

Сделаем замену $$t=x^3.$$ Тогда получим квадратное уравнение

$$t^2-5t+7=0.$$

Его дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 7=25-28=-3.$$

Так как $$D<0,$$ то уравнение не имеет действительных корней. Значит, и исходный многочлен не имеет действительных корней.

б) Рассмотрим многочлен $$x^4-x+2.$$

Докажем, что для всех действительных $$x$$ выполняется неравенство

$$x^4-x+2>0.$$

Если $$x\le 2,$$ то $$x-2\le 0,$$ а значит

$$x^4\ge 0>x-2,$$

следовательно,

$$x^4-x+2>0.$$

Если $$x>2,$$ то $$x^4>x^2>x-2,$$ поэтому снова

$$x^4-x+2>0.$$

Итак, многочлен $$x^4-x+2$$ положителен при всех действительных $$x,$$ значит, действительных корней не имеет.

Ответ

а) Действительных корней нет; б) действительных корней нет.