Упр.1.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.37. Найдите действительные корни многочлена: а) Зх4 — 5х2 + 2; б) х5 + Зх4 — Зх3 — х2 — Зх + 3.

а) Решим уравнение $$3x^4-5x^2+2=0.$$

Сделаем замену $$t=x^2.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$3t^2-5t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=25-24=1.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{5\pm1}{6}.$$

Отсюда

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac23.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,$$

$$x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}.$$

б) Решим уравнение $$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(x^5+3x^4-3x^3\right)+\left(-x^2-3x+3\right)=0.$$

Удобнее выделить множитель $$x-1$$:

$$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=(x-1)(x^4+4x^3+x^2-3).$$

Разложим дальше:

$$x^4+4x^3+x^2-3=(x^2+x+1)(x^2+3x-3).$$

Тогда

$$ (x-1)(x^2+x+1)(x^2+3x-3)=0.$$

Из уравнения $$x^2+x+1=0$$ действительных корней нет, так как

$$D=1-4=-3<0.$$

Из уравнения $$x^2+3x-3=0$$ получаем:

$$D=9+12=21,$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}.$$

Также из множителя $$x-1=0$$ имеем $$x=1.$$

Ответ

а) $$-1,\;1,\;-\sqrt{\frac23},\;\sqrt{\frac23}.$$

б) $$1,\;\frac{-3-\sqrt{21}}{2},\;\frac{-3+\sqrt{21}}{2}.$$