Упр.1.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.36. При каких значениях параметра а заданный многочлен имеет кратные корни: а) (2х + 5)(3х — 1)(х — а)(х — 2а); б) (х2 — (За — 2)х — 6а)(х2 — (5а + 3)х + а)(х — 2)?

а) Многочлен уже разложен на линейные множители:

$$ (2x+5)(3x-1)(x-a)(x-2a). $$

Кратный корень появляется тогда, когда совпадают хотя бы два из корней:

$$ x=-\frac52,\quad x=\frac13,\quad x=a,\quad x=2a. $$

Рассмотрим возможные совпадения:

• $$a=-\frac52;$$
• $$a=\frac13;$$
• $$2a=-\frac52 \Rightarrow a=-\frac54;$$
• $$2a=\frac13 \Rightarrow a=\frac16;$$
• $$a=2a \Rightarrow a=0.$$

Значит, при этих значениях параметра многочлен имеет кратные корни.

б) Рассмотрим многочлен

$$ \bigl(x^2-(3a-2)x-6a\bigr)\bigl(x^2-(5a+3)x+a\bigr)(x-2). $$

Кратный корень может появиться в нескольких случаях.

1) Первый квадратный трёхчлен имеет корни:

$$ x^2-(3a-2)x-6a=0. $$

Его дискриминант:

$$ D=(3a-2)^2+24a=9a^2+12a+4=(3a+2)^2. $$

Тогда корни:

$$ x_1=\frac{(3a-2)-(3a+2)}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{(3a-2)+(3a+2)}{2}=3a. $$

Кратность возникает, если один из этих корней совпадает с корнем $x=2$ или с корнем второго квадратного трёхчлена.

Если $3a=-2$, то

$$ a=-\frac23. $$

Если $-2$ — корень второго квадратного трёхчлена, то

$$ (-2)^2-(5a+3)(-2)+a=0, $$

$$ 4+10a+6+a=0, $$

$$ 11a=-10, \qquad a=-\frac{10}{11}. $$

Если $3a$ — корень второго квадратного трёхчлена, то

$$ (3a)^2-(5a+3)\cdot 3a+a=0, $$

$$ 9a^2-15a^2-9a+a=0, $$

$$ -6a^2-8a=0, $$

$$ 2a(3a+4)=0. $$

Отсюда

$$ a=0 \quad \text{или} \quad a=-\frac43. $$

2) Линейный множитель $x-2$ даёт корень $x=2$. Если $2$ является корнем первого квадратного трёхчлена, то

$$ 2^2-(3a-2)\cdot 2-6a=0, $$

$$ 4-6a+4-6a=0, $$

$$ 8-12a=0, $$

$$ a=\frac23. $$

Если $2$ является корнем второго квадратного трёхчлена, то

$$ 2^2-(5a+3)\cdot 2+a=0, $$

$$ 4-10a-6+a=0, $$

$$ -9a=2, $$

$$ a=-\frac29. $$

Итак, все значения параметра, при которых многочлен имеет кратные корни:

$$ a=-\frac23,\ -\frac{10}{11},\ 0,\ -\frac43,\ \frac23,\ -\frac29. $$

Ответ

а) $$-\frac52,\ \frac13,\ -\frac54,\ \frac16,\ 0.$$

б) $$-\frac23,\ -\frac{10}{11},\ 0,\ -\frac43,\ \frac23,\ -\frac29.$$