Упр.1.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.35. Найдите значения параметра а, при которых многочлен имеет ровно три различных корня: а) 3(х + 5)(х — 7)(х + 1)(х — а); б) (ах2 + 5х + 1)(х2 — х — 2); в) (х2 — (а + 1)х + а)(х2 — х — а); г) (Зх2 + х — а)(2х + а).

Подробный ответ

$$3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a)$$
Чтобы многочлен имел ровно три различных корня, число $$a$$ должно совпасть с одним из уже имеющихся корней $$-5,\ 7,\ -1$$.
Тогда различных корней будет ровно три.
$$a=-5,\ 7,\ -1$$
$$\left(ax^2+5x+1\right)\left(x^2-x-2\right)$$
Второй множитель раскладывается на множители:
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
Его корни: $$x=-1$$ и $$x=2$$.
Чтобы всего было ровно три различных корня, квадратный трёхчлен $$ax^2+5x+1$$ должен иметь один общий корень с $$x^2-x-2$$ и ещё один отличный от них.
Проверим совпадение корней:
при $$x=-1$$:
$$a(-1)^2+5(-1)+1=0$$
$$a-4=0,\quad a=4$$
при $$x=2$$:
$$a\cdot 2^2+5\cdot 2+1=0$$
$$4a+11=0,\quad a=-\frac{11}{4}$$
Ещё возможен случай, когда первый множитель даёт двойной корень:
$$D=5^2-4a=25-4a=0,\quad a=\frac{25}{4}$$
При этом корень $$x=-\frac{5}{2}$$ не совпадает с $$-1$$ и $$2$$, значит получаем три различных корня.
Итак,
$$a=-\frac{11}{4},\ 4,\ \frac{25}{4}$$
$$\left(x^2-(a+1)x+a\right)\left(x^2-x-a\right)$$
Первый трёхчлен раскладывается:
$$x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)$$
Его корни: $$x=1$$ и $$x=a$$.
Второй трёхчлен:
$$x^2-x-a=0$$
Чтобы всего было ровно три различных корня, один из корней второго трёхчлена должен совпасть с одним из корней первого.
1) Если $$x=1$$ — корень второго трёхчлена, то
$$1-1-a=0,\quad a=0$$
Тогда первый множитель даёт корни $$1$$ и $$0$$, а второй — $$1$$ и $$0$$, всего два различных корня, не подходит.
2) Если $$x=a$$ — корень второго трёхчлена, то
$$a^2-a-a=0$$
$$a(a-2)=0$$
$$a=0 \text{ или } a=2$$
При $$a=0$$ снова получаем только два различных корня, а при $$a=2$$ корни: $$1,\ 2,\ -1$$ — ровно три различных корня.
Также возможен случай, когда второй трёхчлен имеет двойной корень:
$$D=1+4a=0,\quad a=-\frac14$$
Тогда его корень $$x=\frac12$$ не совпадает с $$1$$ и $$a=-\frac14$$, значит получаем три различных корня.
Итак,
$$a=-\frac14,\ 2$$
$$\left(3x^2+x-a\right)(2x+a)$$
Линейный множитель даёт корень
$$2x+a=0,\quad x=-\frac{a}{2}$$
Квадратный трёхчлен должен иметь два различных корня:
$$D=1+12a>0,\quad a>-\frac{1}{12}$$
Чтобы всего было ровно три различных корня, корень линейного множителя не должен совпадать с корнями квадратного трёхчлена.
Проверим совпадение:
$$3\left(-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a}{2}-a=0$$
$$\frac{3a^2}{4}-\frac{3a}{2}=0$$
$$3a^2-6a=0$$
$$a(a-2)=0$$
$$a=0 \text{ или } a=2$$
При этих значениях корень линейного множителя совпадает с одним из корней квадратного трёхчлена, поэтому они не подходят.
Следовательно,
$$a\in\left(-\frac{1}{12};0\right)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$