Упр.1.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.34. Докажите утверждение: при любом натуральном значении п многочлен p(x) = 2хn + 4х(n-1) — 2(n + 2) делится на (x-2) без остатка. Используя это утверждение, докажите, что: а) (2 • 5n + 4 5(n-1) — 2(n+2) : 3; б) (2• 9n + 4 • 9(n-1) — 2(n + 2) : 7; в) (2 • 7^100 + 28 • 7^98 — 2^102) : 5; г) (2(n + 3)n + 4(n + 3)(n-l) — 2(n + 2) : (n + 1).

Подробный ответ

Рассмотрим многочлен

$$p(x)=2x^n+4x^{n-1}-2^{n+2}.$$

Докажем, что он делится на $$x-2$$ без остатка. По теореме Безу достаточно проверить, что $$p(2)=0$$:

$$ p(2)=2\cdot 2^n+4\cdot 2^{n-1}-2^{n+2} =2^{n+1}+2^{n+1}-2^{n+2}=0. $$

Значит, $$p(x)$$ делится на $$x-2$$.

Используем это утверждение.

$$2\cdot 5^n+4\cdot 5^{n-1}-2^{n+2}=p(5).$$
Так как $$5-2=3$$, то $$p(5)$$ делится на $$5-2$$, значит, делится на $$3$$.
$$2\cdot 9^n+4\cdot 9^{n-1}-2^{n+2}=p(9).$$
Так как $$9-2=7$$, то $$p(9)$$ делится на $$7$$.
$$2\cdot 7^{100}+28\cdot 7^{98}-2^{102}=2\cdot 7^{100}+4\cdot 7^{99}-2^{102}=p(7).$$
Так как $$7-2=5$$, то это выражение делится на $$5$$.
$$2(n+3)^n+4(n+3)^{n-1}-2^{n+2}=p(n+3).$$
Так как $$ (n+3)-2=n+1 $$, то выражение делится на $$n+1$$.