Упр.1.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.32. Используя схему Горнера, докажите, что число а является корнем многочлена р(х): а) p(x) = 2х4 — Зх3 + х — 10, а = 2; б) p(x) = 2х3 + х2 — 7х — 6, а = -1,5.

а) Запишем коэффициенты многочлена $$p(x)=2x^4-3x^3+0x^2+x-10$$ и применим схему Горнера для числа $$a=2$$:

$$ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -3 & 0 & 1 & -10 \\ & & 2 & -2 & -4 & -6 \\ \hline & 2 & -1 & -2 & -3 & -16 \end{array} $$

Остаток при делении на $$x-2$$ равен $$p(2)=-16$$, значит, в таком виде число $$2$$ не является корнем. Проверим вычисление по схеме Горнера ещё раз:

$$ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 2 & -3 & 0 & 1 & -10 \\ & & 4 & 2 & 4 & 10 \\ \hline & 2 & 1 & 2 & 5 & 0 \end{array} $$

Следовательно, $$p(x)=(x-2)(2x^3+x^2+2x+5)$$, и потому $$p(2)=0$$.

б) Для $$p(x)=2x^3+x^2-7x-6$$ и $$a=-1{,}5$$ применим схему Горнера:

$$ \begin{array}{r|rrrr} -1{,}5 & 2 & 1 & -7 & -6 \\ & & -3 & 3 & 6 \\ \hline & 2 & -2 & -4 & 0 \end{array} $$

Остаток равен нулю, значит, $$-1{,}5$$ — корень многочлена. Тогда

$$ p(x)=(x+1{,}5)(2x^2-2x-4). $$

Ответ

а) $$2$$ — корень многочлена $$p(x)$$; б) $$-1{,}5$$ — корень многочлена $$p(x)$$.