Упр.1.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.30. Докажите, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (kx — р), k /= 0, равен значению этого многочлена в точке х=p/k

По теореме о делении многочлена на двучлен имеем:

$$f(x)=(kx-p)\,q(x)+r,$$

где $$q(x)$$ — частное, $$r$$ — остаток.

Подставим в это равенство $$x=\frac{p}{k}$$:

$$f\!\left(\frac{p}{k}\right)=\left(k\cdot \frac{p}{k}-p\right)q\!\left(\frac{p}{k}\right)+r.$$

Так как

$$k\cdot \frac{p}{k}-p=p-p=0,$$

то

$$f\!\left(\frac{p}{k}\right)=r.$$

Следовательно, остаток от деления многочлена $$f(x)$$ на двучлен $$kx-p$$ равен значению многочлена в точке $$x=\frac{p}{k}$$.

Ответ

$$r=f\!\left(\frac{p}{k}\right).$$