Упр.1.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.29. Найдите остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (х — а) и значение f(x) в точке х = а: а) f(x) = х3 — 4х2 + Зх + 11, а = -3; б) f(x) = х7 + Зх6 — х3 — 12х2 + 1, а = -2; в) f(x) = Зх4 — х2 + х — 31, а = 2; г) f(х) = 2х6 — Зх5 + 2х3 — 4х2 — 2х + 100, а = -1.

1. По теореме о делении многочлена на двучлен $$x-a$$ остаток равен значению многочлена в точке $$x=a$$, то есть $$f(a)$$.

2. а) Для $$f(x)=x^3-4x^2+3x+11$$ при $$a=-3$$:

   $$ f(-3)=(-3)^3-4(-3)^2+3(-3)+11=-27-36-9+11=-61 $$

   Значит, остаток равен $$-61$$.

3. б) Для $$f(x)=x^7+3x^6-x^3-12x^2+1$$ при $$a=-2$$:

   $$ f(-2)=(-2)^7+3(-2)^6-(-2)^3-12(-2)^2+1 $$

   $$ =-128+192+8-48+1=25 $$

   Значит, остаток равен $$25$$.

4. в) Для $$f(x)=3x^4-x^2+x-31$$ при $$a=2$$:

   $$ f(2)=3\cdot 2^4-2^2+2-31=48-4+2-31=15 $$

   Значит, остаток равен $$15$$.

5. г) Для $$f(x)=2x^6-3x^5+2x^3-4x^2-2x+100$$ при $$a=-1$$:

   $$ f(-1)=2(-1)^6-3(-1)^5+2(-1)^3-4(-1)^2-2(-1)+100 $$

   $$ =2+3-2-4+2+100=101 $$

   Значит, остаток равен $$101$$.

Ответ

а) $$-61$$; б) $$25$$; в) $$15$$; г) $$101$$.