Упр.1.27 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.27. а) Пусть многочлен ах3 + bx2 + сх + d тождественно равен многочлену а(х — х1)(х — х2)(х — х3). Выразите коэффициенты а, Ь, с и d через числа х1, х2, х3. б) Пусть многочлен х4 + ах3 + Ьх2 + сх + d тождественно равен многочлену (х — х1)(х — х2)(х — х3)(х — х4). Выразите коэффициенты а, Ь, с и d через числа x1, х2, х3, х4.

а) Раскроем скобки:

$$ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $$
$$ = a\bigl(x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3\bigr). $$

Сравнивая с многочленом $$ax^3+bx^2+cx+d$$, получаем:

$$ b=-a(x_1+x_2+x_3), $$
$$ c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), $$
$$ d=-ax_1x_2x_3. $$

б) Аналогично:

$$ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) $$
$$ = x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3 $$
$$ \quad +(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 $$
$$ \quad -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x + x_1x_2x_3x_4. $$

Сравнивая с многочленом $$x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$, получаем:

$$ a=-(x_1+x_2+x_3+x_4), $$
$$ b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4, $$
$$ c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4), $$
$$ d=x_1x_2x_3x_4. $$

Ответ

а) $$b=-a(x_1+x_2+x_3),\quad c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),\quad d=-ax_1x_2x_3.$$
б) $$a=-(x_1+x_2+x_3+x_4),\quad b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,$$
$$c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),\quad d=x_1x_2x_3x_4.$$