Упр.1.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.25. При каких значениях параметров а и Ь: а) многочлен р(х) = х4 — Зх3 + Зх2 + ах + b делится без остатка на многочлен t(x) = х2 — Зх + 2; б) многочлен р(х) = х4 — 2х3 + ах + 2 делится без остатка на многочлен t(x) = х2 + х + b?

1. Пусть многочлен делится на $$t(x)=x^2-3x+2.$$ Тогда остаток при делении должен быть равен нулю.

   Выполним деление:

   $$ x^4-3x^3+3x^2+ax+b=(x^2-3x+2)(x^2+1)+(a+3)x+(b-2). $$

   Чтобы деление было без остатка, нужно:

   $$ \begin{cases} a+3=0,\\ b-2=0. \end{cases} $$

   Отсюда:

   $$ a=-3,\quad b=2. $$

2. Теперь рассмотрим многочлен $$p(x)=x^4-2x^3+ax+2$$ и делитель $$t(x)=x^2+x+b.$$

   Представим многочлен в виде произведения:

   $$ x^4-2x^3+ax+2=(x^2+x+b)(x^2-3x+3-b)+(4b+a-3)x+(3-b)b-2. $$

   Для делимости без остатка должны выполняться условия:

   $$ \begin{cases} 4b+a-3=0,\\ (3-b)b-2=0. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ b^2-3b+2=0, $$

   $$ (b-1)(b-2)=0, $$

   $$ b=1 \text{ или } b=2. $$

   Тогда из первого уравнения:

   $$ a=3-4b. $$

   Получаем:

   $$ b=1 \Rightarrow a=-1; \qquad b=2 \Rightarrow a=-5. $$

Ответ

а) $$a=-3,\ b=2.$$
б) $$a=-1,\ b=1$$ или $$a=-5,\ b=2.$$