Упр.1.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.24. а) Докажите, что многочлен р(х) = х3 + 5х2 + Зх — 1 делится без остатка на многочлен q(x) = 2х2 + 8х — 2 . б) Докажите, что многочлен t(x) = -5х2 + 4х — 4 является делителем многочлена l(х) = 5х4 — 9х3 — 2х2 + 4х — 8.

Подробный ответ

а) Выполним деление многочлена $$p(x)=x^3+5x^2+3x-1$$ на многочлен $$q(x)=2x^2+8x-2$$:

$$ x^3+5x^2+3x-1 : (2x^2+8x-2)=0{,}5x+0{,}5 $$
$$ (0{,}5x+0{,}5)(2x^2+8x-2)=x^3+5x^2+3x-1 $$

Остаток равен $$0$$, значит, $$p(x)$$ делится на $$q(x)$$ без остатка.

б) Выполним деление многочлена $$l(x)=5x^4-9x^3-2x^2+4x-8$$ на многочлен $$t(x)=-5x^2+4x-4$$:

$$ 5x^4-9x^3-2x^2+4x-8 : (-5x^2+4x-4)=-x^2+x+2 $$
$$ (-x^2+x+2)(-5x^2+4x-4)=5x^4-9x^3-2x^2+4x-8 $$

Остаток равен $$0$$, значит, $$t(x)$$ является делителем многочлена $$l(x)$$.