Упр.1.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.23. а) Выпишите все приведенные многочлены, являющиеся делителями многочлена 3(х — 1)2 (х + 5). б) Выпишите все приведенные многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена х2(2х + 3)(х + 5)3.

Подробный ответ

а) Разложим многочлен на простые множители:

$$3(x-1)^2(x+5)$$

Приведённые делители должны иметь коэффициент при старшем члене, равный $$1$$. Поэтому возможны такие делители:

$$x-1,\quad (x-1)^2,\quad x+5,\quad (x-1)(x+5),\quad (x-1)^2(x+5).$$

б) Для многочлена

$$x^2(2x+3)(x+5)^3$$

удобно записать $$2x+3=2\left(x+1{,}5\right).$$ Тогда приведённые делители третьей степени составляются из множителей $$x$$, $$x+1{,}5$$ и $$x+5$$ с учётом кратностей:

$$x^2(x+1{,}5),\quad x^2(x+5),\quad x(x+5)^2,\quad (x+1{,}5)(x+5)^2,\quad (x+5)^3,\quad x(x+1{,}5)(x+5).$$