Упр.1.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.22. Выполните деление «уголком»: а) х3 — 2х2 + Зх — 5 на х2 — Зх — 1; б) 2х5 — Зх3 — х + 2 на х — 2; в) х3 + 2х2 + х + 3 на 2х2 — Зх — 4; г) 6х4 — 2х + 3 на 2х + 3.

1. $$x^3-2x^2+3x-5 \div (x^2-3x-1)$$

   Первый член частного: $$x^3:x^2=x$$.

   Умножим делитель на $$x$$ и вычтем:

   $$ \begin{aligned} x^3-2x^2+3x-5-(x^3-3x^2-x)&=x^2+4x-5 \end{aligned} $$

   Следующий член частного: $$x^2:x^2=1$$.

   $$ \begin{aligned} x^2+4x-5-(x^2-3x-1)&=7x-4 \end{aligned} $$

   Значит,

   $$x^3-2x^2+3x-5=(x^2-3x-1)(x+1)+(7x-4).$$

2. $$2x^5-2x^3-x+2 \div (x-2)$$

   Запишем делимое с пропущенными степенями:

   $$2x^5+0x^4-2x^3+0x^2-x+2.$$

   Деление уголком даёт частное

   $$2x^4+4x^3+5x^2+10x+19$$

   и остаток $$40$$.

   Следовательно,

   $$2x^5-2x^3-x+2=(x-2)(2x^4+4x^3+5x^2+10x+19)+40.$$

3. $$x^3+2x^2+x+3 \div (2x^2-3x-4)$$

   Первый член частного:

   $$x^3:2x^2=\frac12x.$$

   После вычитания получаем остаток

   $$\frac72x^2+3x+3.$$

   Следующий член частного:

   $$\frac72x^2:2x^2=\frac74.$$

   Остаток:

   $$\frac{33}{4}x+10.$$

   Итак,

   $$x^3+2x^2+x+3=(2x^2-3x-4)\left(\frac12x+\frac74\right)+\left(\frac{33}{4}x+10\right).$$

4. $$6x^4-2x+3 \div (2x+3)$$

   Запишем делимое с пропущенными членами:

   $$6x^4+0x^3+0x^2-2x+3.$$

   Деление уголком даёт частное

   $$3x^3-\frac92x^2+\frac{27}{4}x-\frac{89}{8}$$

   и остаток

   $$\frac{291}{8}.$$

   Следовательно,

   $$6x^4-2x+3=(2x+3)\left(3x^3-\frac92x^2+\frac{27}{4}x-\frac{89}{8}\right)+\frac{291}{8}.$$

Ответ

а) $$x+1$$, остаток $$7x-4$$;
б) $$2x^4+4x^3+5x^2+10x+19$$, остаток $$40$$;
в) $$\frac12x+\frac74$$, остаток $$\frac{33}{4}x+10$$;
г) $$3x^3-\frac92x^2+\frac{27}{4}x-\frac{89}{8}$$, остаток $$\frac{291}{8}$$.