Упр.1.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.21. Пусть р(х) — многочлен степени k и при всех значениях х справедливо равенство р(-х) = -р(х). Докажите, что: а) k — нечетное натуральное число; б) коэффициенты многочлена р(х) при четных степенях х равны нулю.

Пусть

$$p(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0,$$

и при всех $x$ выполняется

$$p(-x)=-p(x).$$

Тогда

$$p(-x)=a_k(-x)^k+a_{k-1}(-x)^{k-1}+\dots+a_1(-x)+a_0.$$

Сравним два выражения.

1) Если $k$ чётное, то старший член в $p(-x)$ имеет тот же знак, что и в $p(x)$:

$$a_k(-x)^k=a_kx^k.$$

Но по условию должно быть $p(-x)=-p(x)$, то есть старший член справа равен

$$-a_kx^k.$$

Это невозможно для многочлена степени $k$ с ненулевым старшим коэффициентом. Значит, $k$ не может быть чётным.

2) Если $k$ нечётное, то

$$(-x)^k=-x^k,$$

и при подстановке получаем:

$$a_kx^k-a_{k-1}x^{k-1}+\dots-a_1x+a_0=-a_kx^k-a_{k-1}x^{k-1}-\dots-a_1x-a_0.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a_{k-1}x^{k-1}+2a_{k-3}x^{k-3}+\dots+2a_1x=0.$$

Так как это тождество верно при всех $x$, то все коэффициенты при чётных степенях должны быть равны нулю:

$$a_{k-1}=a_{k-3}=\dots=a_2=a_0=0.$$

Следовательно, в многочлене остаются только члены с нечётными степенями, а значит, его степень $k$ — нечётное натуральное число.

Ответ

$$k$$ — нечётное натуральное число; коэффициенты многочлена при чётных степенях $x$ равны нулю.