Упр.1.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.20. Пусть р(х) — многочлен степени k и при всех значениях х справедливо равенство р(-х) = р(х). Докажите, что: а) k — четное натуральное число или нуль; б) коэффициенты многочлена р(х) при нечетных степенях х равны нулю.

Пусть

$$p(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0,$$

и при всех $x$ выполняется равенство

$$p(-x)=p(x).$$

Тогда

$$p(-x)=a_k(-x)^k+a_{k-1}(-x)^{k-1}+\dots+a_1(-x)+a_0.$$

1) Если $k$ — нечётное, то

$$p(-x)=-a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}-\dots-a_1x+a_0.$$

Из равенства $p(-x)=p(x)$ получаем

$$a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0=-a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}-\dots-a_1x+a_0,$$

откуда

$$2a_kx^k+2a_{k-2}x^{k-2}+\dots+2a_3x^3+2a_1x=0.$$

Следовательно,

$$a_k=a_{k-2}=\dots=a_3=a_1=0.$$

Но тогда старший коэффициент равен нулю, что невозможно для многочлена степени $k$. Значит, нечётной степени у такого многочлена быть не может.

2) Если $k$ — чётное, то

$$p(-x)=a_kx^k-a_{k-1}x^{k-1}+\dots-a_1x+a_0.$$

Из равенства $p(-x)=p(x)$ получаем

$$a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0=a_kx^k-a_{k-1}x^{k-1}+\dots-a_1x+a_0,$$

откуда

$$2a_{k-1}x^{k-1}+2a_{k-3}x^{k-3}+\dots+2a_3x^3+2a_1x=0.$$

Следовательно,

$$a_{k-1}=a_{k-3}=\dots=a_3=a_1=0.$$

Итак, в многочлене остаются только члены с чётными степенями.

Ответ

$$k$$ — чётное натуральное число или $$0$$; коэффициенты при нечётных степенях $$x$$ равны нулю.