Упр.1.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Раскроем скобки в многочлене

$$q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$$

Сначала перемножим две скобки:

$$ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. $$

Тогда

$$ q(x)=a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)(x-x_3). $$

После умножения получаем:

$$ q(x)=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-a x_1x_2x_3. $$

Так как многочлены тождественно равны, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ совпадают:

$$ b=-a(x_1+x_2+x_3), $$

$$ c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), $$

$$ d=-a x_1x_2x_3. $$

б) Аналогично раскроем скобки:

$$ q(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4). $$

Сгруппируем множители:

$$ q(x)=\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)\bigl(x^2-(x_3+x_4)x+x_3x_4\bigr). $$

После перемножения получаем стандартный вид:

$$ q(x)=x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3 $$

$$ +\,(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 $$

$$ -\,(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x +x_1x_2x_3x_4. $$

Сравнивая с

$$ p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d, $$

получаем:

$$ a=-(x_1+x_2+x_3+x_4), $$

$$ b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4, $$

$$ c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4), $$

$$ d=x_1x_2x_3x_4. $$

Ответ

а) $$b=-a(x_1+x_2+x_3),\quad c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),\quad d=-ax_1x_2x_3.$$

б) $$a=-(x_1+x_2+x_3+x_4),\quad b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,$$ $$c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),\quad d=x_1x_2x_3x_4.$$