Упр.1.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.18. Найдите все значения параметров а и b, при которых многочлены р(х) и q(x) тождественно равны: а) р(х) = 2ах — (а + Ь), q(x) = 4х + (За — b — 8); б) р(х) = 2х2 + х — (а + b)х + 2b — a, q(x) = -ах + 2(х2 — b) + (1 — b)(х2 + 2х).

Подробный ответ

а) Чтобы многочлены были тождественно равны, должны совпадать коэффициенты при одинаковых степенях $x$ и свободные члены:

$$ p(x)=2ax-(a+b), \qquad q(x)=4x+(3a-b-8) $$
$$ 2a=4 $$
$$ a=2 $$
Теперь приравняем свободные члены:
$$ -(a+b)=3a-b-8 $$
Подставим $a=2$:
$$ -(2+b)=6-b-8 $$
$$ -2-b=-2-b $$
Это верно при любом $b$.

б) Преобразуем многочлены:

$$ p(x)=2x^2+x-(a+b)x+2b-a=2x^2+(1-a-b)x+(2b-a) $$
$$ q(x)=-ax+2(x^2-b)+(1-b)(x^2+2x) $$
$$ q(x)=-ax+2x^2-2b+(1-b)x^2+2(1-b)x $$
$$ q(x)=(3-b)x^2+(2-a-2b)x-2b $$

При тождественном равенстве коэффициенты должны совпадать:

$$ 2=3-b $$
$$ b=1 $$
$$ 1-a-b=2-a-2b $$
При $b=1$ это равенство выполняется.

$$ 2b-a=-2b $$
$$ 2\cdot 1-a=-2 $$
$$ a=4 $$