Упр.1.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.17. При каких значениях параметра а многочлен (а2 — 4)х4 — 2х3 + (2а — 1)х — 4 будет: а) приведенным многочленом; б) многочленом четвертой степени; в) многочленом третьей степени; г) принимать одинаковые значения в точках x=1 и х = -1?

Рассмотрим многочлен $$\left(a^2-4\right)x^4-2x^3+\left(2a-1\right)x-4.$$

1. Чтобы многочлен был приведённым, старший коэффициент должен быть равен $$1$$:

   $$a^2-4=1,$$

   $$a^2=5,$$

   $$a=\pm\sqrt5.$$

2. Чтобы многочлен был четвёртой степени, коэффициент при $$x^4$$ должен быть отличен от нуля:

   $$a^2-4\ne 0,$$

   $$a^2\ne 4,$$

   $$a\ne \pm 2.$$

3. Чтобы многочлен был третьей степени, коэффициент при $$x^4$$ должен быть равен нулю:

   $$a^2-4=0,$$

   $$a^2=4,$$

   $$a=\pm 2.$$

4. Найдём значения параметра, при которых многочлен принимает одинаковые значения при $$x=1$$ и $$x=-1$$:

   $$f(1)=\left(a^2-4\right)-2+\left(2a-1\right)-4,$$

   $$f(-1)=\left(a^2-4\right)+2-\left(2a-1\right)-4.$$

   Приравняем:

   $$\left(a^2-4\right)-2+\left(2a-1\right)-4=\left(a^2-4\right)+2-\left(2a-1\right)-4,$$

   $$2\left(2a-1\right)=4,$$

   $$2a-1=2,$$

   $$2a=3,$$

   $$a=\frac32.$$

Ответ

а) $$a=\pm\sqrt5$$; б) $$a\ne \pm 2$$; в) $$a=\pm 2$$; г) $$a=\frac32$$.