Упр.1.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 1.16. Для многочлена р(х) найдите степень, свободный член, старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму всех коэффициентов при четных степенях переменной, сумму всех коэффициентов при нечетных степенях переменной: а) р(х) = (х + 1)17 — (х — 1)17; б) р(х) = (х2+х-2)35(x2-Зх- 4)15 — (х — 1)2(x3 + х + 2)65.

а) $$p(x)=(x+1)^{17}-(x-1)^{17}$$

Степень многочлена равна $$16$$, так как старшие члены $$x^{17}$$ сокращаются.

Свободный член:

$$p(0)=1^{17}-(-1)^{17}=1-(-1)=2.$$

Старший коэффициент: в разложении бинома коэффициенты при $$x^{17}$$ сокращаются, а при $$x^{16}$$ получаем

$$17-(-17)=34.$$

Сумма всех коэффициентов:

$$p(1)=(1+1)^{17}-(1-1)^{17}=2^{17}.$$

Сумма коэффициентов при чётных степенях:

$$S_{\text{чёт}}=\frac{p(1)+p(-1)}{2}.$$

Найдём

$$p(-1)=(-1+1)^{17}-(-1-1)^{17}=0-(-2)^{17}=2^{17}.$$

Тогда

$$S_{\text{чёт}}=\frac{2^{17}+2^{17}}{2}=2^{17}.$$

Сумма коэффициентов при нечётных степенях:

$$S_{\text{неч}}=\frac{p(1)-p(-1)}{2}=\frac{2^{17}-2^{17}}{2}=0.$$

б) $$p(x)=(x^2+x-2)^{35}(x^2-3x-4)^{15}-(x-1)^2(x^3+x+2)^{65}$$

Найдём степень каждого слагаемого:

$$\deg\bigl((x^2+x-2)^{35}(x^2-3x-4)^{15}\bigr)=2\cdot 35+2\cdot 15=100,$$

$$\deg\bigl((x-1)^2(x^3+x+2)^{65}\bigr)=2+3\cdot 65=197.$$

Значит, степень многочлена равна $$197$$.

Старший член второго слагаемого:

$$-(x-1)^2(x^3+x+2)^{65}\sim -x^2\cdot x^{195}=-x^{197},$$

поэтому старший коэффициент равен $$-1$$.

Свободный член:

$$p(0)=(-2)^{35}\cdot(-4)^{15}-( -1)^2\cdot 2^{65}.$$

Так как $$(-2)^{35}\cdot(-4)^{15}=2^{35}\cdot 4^{15}=2^{35}\cdot 2^{30}=2^{65},$$ то

$$p(0)=2^{65}-2^{65}=0.$$

Сумма всех коэффициентов:

$$p(1)=(1+1-2)^{35}(1-3-4)^{15}-(1-1)^2(1+1+2)^{65}=0.$$

Сумма коэффициентов при чётных степенях:

$$S_{\text{чёт}}=\frac{p(1)+p(-1)}{2}.$$

Вычислим

$$p(-1)=((-1)^2-1-2)^{35}((-1)^2+3-4)^{15}-(-1-1)^2((-1)^3-1+2)^{65}=0.$$

Следовательно,

$$S_{\text{чёт}}=0.$$

Сумма коэффициентов при нечётных степенях:

$$S_{\text{неч}}=\frac{p(1)-p(-1)}{2}=0.$$

Ответ

а) $$n=16,\ a_0=2,\ a_n=34,\ S=2^{17},\ S_{\text{чёт}}=2^{17},\ S_{\text{неч}}=0.$$

б) $$n=197,\ a_0=0,\ a_n=-1,\ S=0,\ S_{\text{чёт}}=0,\ S_{\text{неч}}=0.$$